Содержание:
Что означает Собственное число простыми словами
Собственное число (собственное значение) — это число, которое при умножении на вектор равно результату умножения этого вектора на некоторую матрицу.
Для более простого объяснения, представьте, что у вас есть матрица A, которая представляет квадратичную форму, и у вас есть вектор r. Собственное число X — это число, которое, когда вы умножаете вектор r на матрицу A, дает вам тот же результат, как если бы вы умножали вектор r на X без матрицы A.
По сути, собственное число является таким числом, которое при умножении на вектор не меняет его направления, а только масштабирует его. Если бы вы представили вектор r в виде стрелки, то собственное число X было бы коэффициентом, на который нужно умножить стрелку, чтобы получить новую стрелку с тем же направлением, но другой длиной.
Собственные числа имеют большое значение в линейной алгебре и находят применение в различных областях науки и техники. Они позволяют анализировать поведение матрицы и векторов, а также решать различные задачи, связанные с линейными преобразованиями.
Собственное число — примеры
Пример 1:
Пусть дана матрица A = [[2, 0], [0, 3]] и вектор g = [[1], [1]].
Чтобы найти собственные значения, решим уравнение Ar = Xr:
[[2, 0], [0, 3]] * [[1], [1]] = X * [[1], [1]]
[[2], [3]] = X * [[1], [1]]
Данное уравнение эквивалентно системе уравнений:
2X = X
3X = X
Отсюда получаем два собственных значения X1 = 2 и X2 = 3.
Пример 2:
Пусть дана матрица A = [[1, 2], [2, 4]] и вектор g = [[1], [0]].
Чтобы найти собственные значения, решим уравнение Ar = Xr:
[[1, 2], [2, 4]] * [[1], [0]] = X * [[1], [0]]
[[1], [2]] = X * [[1], [0]]
Данное уравнение эквивалентно системе уравнений:
X = X
2X = 0
Отсюда получаем одно собственное значение X = 0.
Собственное число кратко и просто
Собственное число (собственное значение) матрицы A — это число X, при котором уравнение Ar = Xr имеет ненулевое решение r, то есть вектор r является собственным вектором матрицы A, соответствующим собственному числу X.
В случае квадратичной формы, матрица A является симметричной и представляет собой матрицу коэффициентов перед переменными в квадратичной форме. Уравнение Ar = Xr можно переписать в виде (A — XI)r = 0, где I — единичная матрица. Это уравнение имеет ненулевое решение r только при условии, что определитель матрицы (A — XI) равен нулю. Таким образом, собственные числа матрицы A являются корнями уравнения det(A — XI) = 0.
Собственные числа имеют важное значение в линейной алгебре и находят применение в различных областях, таких как теория графов, физика, экономика и другие. Они позволяют анализировать свойства матрицы и решать различные задачи, связанные с этой матрицей.